What's it about?
Homogeneous coordinates are an essential tool for vision-based applications. However, this topic and some others of projective geometry are poorly studied in the computer vision approach. This paper offers a tutorial on homogeneous coordinates and useful concepts for vision-based applications.

Why is it important?
This paper provides a comprehensible tutorial on homogeneous coordinates to build the pinhole camera model and develop useful algorithms such as camera calibration and image perspective correction. This work could provide practical insights for inexperienced students computer vision and optical metrology among others.

Perspectives
I hope that this work is a good starting point to introduce inexperienced students in the scientific discipline of computer vision.

• A tutorial of this work can be found here (in Spanish)

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En esta página describiremos algunas ecuaciones de uso frecuente relacionadas al uso de coordenadas homogéneas y el modelo de cámara pinhole. Asimismo, se realiza una descripción breve de conceptos útiles. El contenido que se presenta aquí fue tomado del artículo Operator-based homogeneous coordinates: application in camera document scanning.

Algunas propiedades útiles de los operadores H y P se muestran en las ecuaciones (1) a (10).

• Las ecuaciones (1) y (2) indican el resultado de la aplicación consecutiva del operador H y su inversa.

• La ecuación (3) describe el proceso de "despejar" el operador H.

• La ecuación (5) representa la invarianza a la multiplicación por un escalar en el espacio de coordenadas homogéneas.

• Las ecuaciones (6) y (7) indican cómo expresar el operador H_s (y su inversa) en base s en términos del operador H₁ en base 1.

• La ecuación (8) es una definición del operador de proyección P_s en términos del operador H_s.

• La ecuación (9) indica que la inversa del operador de proyección es igual a la aplicación del operador de proyección directo usando la inversa de la matriz de transformación.

• La ecuación (10) expresa el operador de proyección en base s en términos del operador de proyección en base 1.

Un punto p en el espacio tridimensional, se detecta como un punto μ en el plano de la imagen. Considerando el modelo de cámara pinhole, los vectores p y μ están relacionados por la ecuación (11).

La matriz C en la ecuación (12) es la matriz de la cámara y es de tamaño 3x4.

La matriz K, definida por la ecuación (13), contiene los parámetros intrínsecos de la cámara:

• longitud focal f,
• oblicuidad σ,
• punto principal (τ_x, τ_y), y
• tamaño del pixel (s_x, s_y).

La matriz L, definida por la ecuación (14), contiene los parámetros extrínsecos de la cámara:

• R es una matriz de rotación que define la orientación de la cámara.
• t es un vector que define la posición de la cámara.

El modelo de cámara pinhole descrito por la ecuación (11) permite tomar un punto p del espacio 3D y calcular el punto imagen μ correspondiente en el plano de la cámara. Nos referiremos a este proceso como “proyección del espacio 3D al plano imagen.”

En ciertos análisis, es conveniente describir el proceso inverso. Es decir, tomar un punto μ del plano imagen y calcular el punto p correspondiente del espacio 3D. Nos referiremos a este proceso como “retroproyección del plano imagen al espacio 3D” o, simplemente, “retroproyección.”

En general, una cámara es un dispositivo que observa puntos p del espacio tridimensional y los registra como puntos μ en el plano imagen como se muestra en la figura 1(a). Para describir este proceso, dado por la ecuación (11), es necesario conocer la matriz 3x4 de la cámara.

En el caso particular en la que los puntos observados están contenidos en un plano, entonces la cámara realiza un mapeo de punto de un plano (el plano de referencia) a puntos de otro plano (el plano imagen) como se muestra en la figura 1(b).

Específicamente, los puntos ρ del plano de referencia y los puntos μ del plano imagen están relacionados por la ecuación (19).

La matriz G es la homografía definida por el plano observado y el plano imagen. Esta matriz es de tamaño 3x3 y está definida por la eucación (20).

K y (R, t) son los parámetros intrínsecos y extrínsecos de la cámara, respectivamente.

Los vectores q₁ y q₂ son las dos primeras columnas de una matriz de rotación Q que define la orientación del plano observado. Finalmente, el vector s define la traslación del plano observado.

Las homografías son transformaciones lineales en el espacio de coordenadas homogéneas. Podemos clasificar las homografías de acuerdo al tipo de transformación que realizan. A grandes rasgos, una homografía se puede clasificar como sigue.

1. Isometría

El plano observado es afectado por, ver Ec. (21),

• rotación (o reflexión), y
• traslación.

Se conservan

• ángulos,
• distancias, y
• áreas.

2. Similaridad

El plano observado es afectado por, ver Ec. (22),

• rotación (o reflexión),
• traslación, y
• escala isotrópica.

Se conservan

• ángulos,
• razón de distancias, y
• razón de áreas.

3. Afinidad

El plano observado es afectado por, ver Ec. (23),

• rotación,
• traslación, y
• escala anisotrópica.

Se conservan

• paralelismo,
• razón de distancias colineales y paralelas, y
• razón de áreas.

4. Proyectividad

El plano observado es afectado por, ver Ec. (24),

• rotación,
• traslación, y
• escala anisotrópica no constante.

Se conservan

• razón cruzada,
• colinealidad, y
• concurrencia.