¿Por qué las funciones especiales son especiales?
El contenido de esta página es una paráfrasis del artículo de Michael Berry, Why are special functions special?
El contenido de esta página es una paráfrasis del artículo de Michael Berry, Why are special functions special?
Las ciencias naturales, como la física y la biología, logran sus avances valiéndose de hechos. Sin embargo, en física, y particularmente en física teórica, se puede avanzar usando solo unos pocos principios básicos sin necesidad de conocer muchos hechos. Pero en su lugar, hay un corpus de información matemática que necesitaremos conocer. Mucha de esta información consiste en las funciones especiales.
Si estuviera abandonado en una isla desierta tendría mucho tiempo para pensar en física y mucha física en la que pensar: olas en el agua, la forma de las nubes, sutiles colores en el cielo… Con arrogancia de teórico, pensaría que no es tan difícil deducir la física subyacente y formular las ecuaciones correspondientes. La arrogancia se termina y comienza la humildad en el momento en que tales ecuaciones deban resolverse. Es entonces cuando las tablas de fórmulas se hacen indispensables.
¿Podemos reconocer una integral obtenida en un desarrollo como una de las muchas representaciones de una función de Bessel? ¿Dónde la expresión asintótica para la función gamma involucra (n+1) o (n-1)? Para este tipo de dudas, los teóricos hemos dependido tradicionalmente de tablas de fórmulas.
Hoy en día, la atención está cambiando de los libros hacia las computadoras. La tecnología hace que los valores numéricos de las funciones de Bessel, y muchas integrales analíticas se puedan obtener fácilmente usando software tal como Mathematica y Maple. Además, mucha información está disponible en internet. Por ejemplo, la Librería Digital de Funciones Matemáticas (DLMF por sus siglas en inglés: Digital Library of Mathematical Functions).
Algunas de las funciones especiales eran conocidas por los matemáticos desde 1964, pero no eran bien conocidas por los científicos y rara vez se habían aplicado en física. Sin embargo, desde esos años a la fecha, las funciones especiales han sido muy útiles en varias ramas de la física. Estos son algunos ejemplos:
● La teoría de cuerdas y caología cuántica ahora hace uso de las funciones automórficas y la función zeta.
● Las transcendentes de Painlevé se usan ampliamente en teoría de solitones y sistemas dinámicos integrables.
● Los polinomios de teoría de singularidad juegan un papel central en óptica y mecánica cuántica.
Una de las principales aplicaciones de las funciones especiales fue la expresión compacta de aproximaciones a problemas físicos para los cuales no se había encontrado solución analítica explícita.
Pero desde los años 60, cuando el cómputo científico se generalizó, las ecuaciones de la física se han podido resolver numéricamente (incluso de forma “exacta”) en muchos casos. Se decía que esto haría que las funciones especiales fueran redundantes. Había un escepticismo similar en algunos matemáticos puros cuya falta de interés en las funciones especiales era casi total.
Sin embargo, la persistencia de las funciones especiales es desconcertante y sorprendente. Pero, además de ser el nombre de objetos matemáticos útiles en situaciones de simplicidad particular, ¿qué son las funciones especiales? ¿Por qué nos alegramos tanto cuando un desarrollo complicado resulta en una función de Bessel o un polinomio de Laguerre? ¿Qué es lo que determina que una función sea “especial”? Estas son preguntas para las que no tengo respuestas claras. En su lugar, ofreceré las siguientes observaciones.
Hay teorías matemáticas en las que algunas clases de funciones especiales aparecen naturalmente. Una clasificación familiar es por incremento de complejidad. Otra es por análisis de propiedades. Sin embargo, ambas clasificaciones son incompletas en el sentido de que omiten clases completas que nosotros encontramos útiles. Por ejemplo, las funciones de Mathieu caen fuera de la clase hipergeométrica y las funciones gamma y zeta no son las soluciones de ecuaciones diferenciales simples. Mas aún, tales clasificaciones proporcionan conexiones que a menudo aparecen lejanas e inútiles en nuestras aplicaciones.
Una razón para la continua popularidad de las funciones especiales podría ser que ellas engloban conjuntos de patrones reconocibles y comunicables. Por lo tanto, constituyen una moneda común. Las compilaciones tales como la DLMF ayudan al proceso de estandarización de la misma forma en que los diccionarios engloban las palabras de uso común. Siguiendo esta analogía, se puede observar lo siguiente. Mientras la gramática es interesante por sí misma, raramente es útil para comunicarse en lenguaje natural. Quizá es por eso que las clasificaciones formales de las funciones especiales no han sido tan útiles en las aplicaciones.
A veces, los patrones que involucran funciones especiales son invocados en forma de imágenes. ¿Qué tan útiles serían los senos y cosenos sin las imágenes de cómo oscilan? En 1960, la publicación de un gráfico tridimensional que muestra los polos de la función gamma en el plano complejo adquirió un estado casi icónico. Los sofisticados gráficos por computadora disponibles en la actualidad, permiten explorar el comportamiento mucho más complejo de funciones en varias variables usando secciones 2D y gráficas 3D.
“Nuevo” es importante aquí. Así como nuevas palabras entran al lenguaje, también el conjunto de funciones especiales incrementa. El incremento está impulsado por aplicaciones más sofisticadas y por una nueva tecnología que permite representar más funciones en formas que se pueden asimilar fácilmente.
Algunas veces los patrones están asociados con el comportamiento asintótico de las funciones, o de sus singularidades.
De las dos funciones de Airy, Ai decae hacia el infinito, mientras Bi crece. Las funciones Bessel del primer tipo son regulares en el origen mientras las del segundo tipo tienen un polo o punto de ramificación.
Quizá la estandarización es simplemente un tema de uniformizar la definición y notación. Aunque simple, esto está lejos de ser trivial. Para enfatizar la importancia de la notación, Robert Dingle en sus conferencias de posgrado ocasionalmente reemplaza letras que representan variables por garabatos inventados, lo que introduce incomprensibilidad instantánea. Extendiendo esto a un nivel más alto, a los nombres de funciones, solo imagine cuánta confusión provocaría el físico John Doe si insistiera en reemplazar sin(x) por doe(x), incluso con una definición al inicio de cada artículo.
Parafraseando un aforismo atribuido al bioquímico Albert Szent Györgyi, quizá las funciones especiales brindan una cultura económica y compartida análoga a los libros: lugares donde guardar nuestro conocimiento para que podamos usar nuestras cabezas para cosas mejores.
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