R. Juarez-Salazar, 26 de abril de 2020. La recta numérica es una representación gráfica de los números reales. En educación básica, la recta numérica se usa para ilustrar la adición y substracción a través de un proceso simple de “avanzar” y “retroceder.” Asimismo, la recta numérica permite ilustrar conceptos más avanzados como la noción de distancia, conjuntos, y desigualdades.

  La recta numérica se representa como una línea horizontal, donde el centro es marcado como el origen donde se asigna el número cero. A la derecha se presentan los números positivos y a la izquierda los números negativos. Las flechas en los extremos indican que la recta numérica se extiende indefinidamente en ambas direcciones.

En este punto, surge la pregunta ¿cuántos infinitos hay en la recta numérica? Dependiendo de la geometría elegida para definir la línea recta, podemos encontrar tres respuestas.

• Existen dos infinitos, +∞ y -∞. Esta es una respuesta que sigue la idea de que los números positivos se extienden indefinidamente a la derecha de la línea recta, y, simétricamente, a la izquierda con los números negativos.

• Existe un único infinito, ∞. Esta es una respuesta que se obtiene de considerar que dos líneas solo pueden intersectarse en un único punto. Esto es fácil de comprobar para dos rectas no paralelas cualquiera. Así, al extender esta idea a dos rectas paralelas, se llega a la conclusión que también deben intersectar en un único punto: el infinito.

• Ninguno. Se puede llegar a esta conclusión si pensamos que la recta numérica es un objeto que no tiene extremos y por lo tanto en ningún momento se puede alcanzar un infinito; siempre habrá un punto más alejado.

Usualmente, los “puntos en el infinito” son considerados solo una abstracción matemática. Sin embargo, estos puntos tienen una increíble utilidad en aplicaciones de visión por computadora porque permiten entender el mundo tridimensional a partir de imágenes (bidimensionales).

Intuitivamente sabemos que los objetos parecen más pequeños y parecen moverse más lento a medida que estén más lejos de nosotros.

Matemáticamente, si un objeto llega al infinito, este se verá como un punto y no se moverá sin importar que tan grande sea ni que tan rápido se mueva.

Nuestro cerebro constantemente hace estimaciones de distancias y velocidades basándose en este principio. De la misma forma, un robot equipado con un sistema de visión artificial realizará el mismo tipo de estimaciones usando los puntos en el infinito como referencia. La base matemática para hacer este tipo de cálculos es geometría proyectiva.

En geometría proyectiva, los puntos son representados usando coordenadas homogéneas. En este sistema coordenado, los puntos de la línea recta son asociados a un radio de la circunferencia unitaria como se muestra en la Fig. 1. Usando geometría proyectiva, se puede mostrar que en la recta numérica existe un único punto en el infinito. Pero también se pueden sacar otras conclusiones sorprendentes como veremos a continuación.

Imaginemos que nos posicionamos en el origen de la recta numérica y entonces avanzamos a la derecha en la dirección positiva de la recta. Nos sorprenderá que podemos alcanzar el infinito sin ninguna dificultad usando coordenadas homogéneas; pero más sorprendente es que podemos seguir “avanzando.” Sin embargo, tan pronto como “rebasemos” el infinito ¡apareceremos en los números negativos acercándonos hacia al origen!

La descripción del párrafo anterior nos puede hacer pensar que avanzar lo suficientemente lejos a la derecha en los números positivos nos hará desaparecer para después reaparecer a la izquierda en los números negativos. Lo que ocurre en realidad es que, en coordenadas homogéneas, la recta numérica es un lazo cerrado como se muestra en la Fig. 3.

Espero que este tema haya sido de tu interés y despierte tu curiosidad para seguir adelante formulando preguntas y buscando respuestas. Como ejercicio, cierro esta página con las siguientes preguntas.

• ¿Qué aplicaciones de visión artificial conoces donde se usan coordenadas homogéneas?

• ¿Qué otras ramas de la ingeniería usan coordenadas homogéneas?

• ¿Cómo se describe un plano usando coordenadas homogéneas? ¿Y una elipse?

Esta lectura está basada en el artículo [1] de la siguiente lista. Una introducción formal sobre coordenadas homogéneas se presenta en las referencias [2, 3]. La referencia [4] proporciona notas sobre coordenadas homogéneas para modelar una cámara pinhole.

[1] R. Juarez-Salazar, VH. Díaz-Ramírez, “Operator-based homogeneous coordinates: application in camera document scanning,” Opt. Eng. 56(7) 070801 (2017)

[2] R. Juarez-Salazar, “Coordenadas homogéneas: puntos,” (2019)

[3] R. Juarez-Salazar, “Líneas en coordenadas homogéneas,” (2019)

[4] Notas de referencia sobre coordenadas homogéneas y el modelo de cámara pinhole