Splines cuadráticos
El contenido de este tutorial está basado en el libro de Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3ra Ed., McGraw-Hill Higher Education, 2011.
El contenido de este tutorial está basado en el libro de Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3ra Ed., McGraw-Hill Higher Education, 2011.
Consideremos un polinomio Si(x) de grado dos, una parábola, por cada intervalo [xi, xi+1]. Además, este polinomio tiene una derivada que se define en las ecuación (2).
Para definir los coeficientes ai, bi, y ci, se establecen las condiciones que deseamos se cumplan en cada intervalo. En la ecuación (3) se pide que los polinomios pasen por los puntos datos; es decir, sean polinomios de interpolación. Las siguientes tres restricciones son de continuidad:
Considerando la definición del polinomio Si y sus derivadas, las ecuaciones (3)-(5) se pueden reescribir como las ecuaciones (6)-(8), donde
hi = xi+1 - xi.
Observe que la ecuación (6) proporciona el valor de los coeficientes ai. Sustituyendo la ecuación (6) en (7), el sistema de ecuaciones (6)-(8) se reduce al nuevo sistema de ecuaciones (9)-(10), donde
ξi = (yi+1 - yi) / hi.
Para eliminar los coeficientes bi y bi+1 en la ecuación (10) usaremos la ecuación (9) dos veces: una en su forma original, i, y la otra para el polinomio i+1 como se muestra en la ecuación (11). Con esto, reducimos el sistema de ecuaciones a solo la ecuación (12).
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