Splines cúbicos
El contenido de este tutorial está basado en el libro de Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3ra Ed., McGraw-Hill Higher Education, 2011.
El contenido de este tutorial está basado en el libro de Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3ra Ed., McGraw-Hill Higher Education, 2011.
Consideremos un polinomio y = Si(x) de grados tres por cada intervalo [xi, xi+1]. Además, este polinomio tiene dos derivadas que se definen en las ecuaciones (2) y (3).
El problema ahora consiste en definir los coeficientes ai, bi, ci, y di. Para esto, se establecen las condiciones que deseamos se cumplan en cada intervalo. En la ecuación (4) se pide que los polinomios pasen por los puntos datos; es decir, sean polinomios de interpolación. Las siguientes tres restricciones son de continuidad:
Considerando la definición del polinomio Si y sus derivadas, las ecuaciones (4)-(7) se pueden reescribir como las ecuaciones (8)-(11), donde
hi = xi+1 - xi.
Observe que la ecuación (8) proporciona el valor de los coeficientes ai. Sustituyendo la ecuación (8) en (9), el sistema de ecuaciones (8)-(11) se reduce al nuevo sistema de ecuaciones (12)-(14), donde
ξi = (yi+1 - yi) / hi.
Este nuevo sistema de ecuaciones se puede reducir aún más sustituyendo la ecuación (14) en las ecuaciones (12) y (13). Como resultado, se obtiene un sistema que solo tiene dos ecuaciones: (15) y (16).
Para eliminar los coeficientes bi y bi+1 en la ecuación (16) usaremos la ecuación (15) dos veces: una en su forma original, i, y la otra para el polinomio i+1. Estas dos ecuaciones se usarán para sustituir los coeficientes bi y bi+1 en la ecuación (16) como se muestra en la ecuación (17). Con esto, reducimos el sistema de ecuaciones a solo la ecuación (18).
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